Introduzione alla Analisi Funzionale

January 3

Analisi funzionale è un'area della matematica che è lo studio di vettori, spazi vettoriali e le loro operazioni. In sostanza, secondo Mathematical Atlas, è l'esame di spazi vettoriali di dimensione infinita entro qualche struttura (come struttura metrica o un anello). Equazioni differenziali e altri concetti calcolo vettoriale sono ampiamente utilizzati per lo studio di analisi funzionale.

I fatti

Uno spazio vettoriale reale è un insieme di elementi che ha due operazioni, addizione e moltiplicazione scalare. Uno spazio metrico è un insieme con una metrica e lo studio degli spazi metrici chiamato topologia. L'analisi funzionale è un livello avanzato di di analisi matematica e ha sovrapposizioni con molti altri tipi di matematica, tra cui equazioni differenziali, fisica matematica, analisi numerica, elaborazione del segnale, analisi complessa e reale, la geometria, l'algebra operatore, topologia e probabilità.

Storia

L'analisi funzionale termine la prima volta nel 1922, nel titolo della Leçons di Paul Lévy de l'analizzare fonctionelle. Da allora il concetto di analisi funzionale è stato usato per descrivere spazi di funzioni (in particolare spazi di Banach e Hilbert). Questa idea deriva in gran parte dal lavoro di un matematico tedesco prolifico con il nome di David Hilbert che ha fatto molti importanti contributi al campo nella prima metà del ventesimo secolo, secondo usi più noti.

Caratteristiche

In particolare, l'analisi funzionale è spesso considerato come lo studio di spazi completi normati vettoriali. Questi spazi vettoriali estendono su entrambi i numeri reali e complessi e sono formalmente chiamati spazi di Banach. Uno spazio di Hilbert (chiamato in onore di David Hilbert) è un esempio di uno spazio di Banach ed è uno spazio il cui prodotto interno crea una norma. L'analisi funzionale è normalmente introdotto attraverso lo studio della lineare e spazi normati e seguito dai concetti di spazi di Hilbert e funzionali lineari. Questo è seguito da l'idea di spazi duali di Banach, la teoria di Hahn-Banach, delimitata operatori lineari (così come gli operatori compatti, operatori doppi e operatori invertibili), e infine i molti aspetti della teoria spettrale.

Funzione

Il concetto di spazi di Banach e di Hilbert sono di grande importanza per la matematica pura, perché sono fondamentali per la comprensione della meccanica quantistica e altre aree della fisica. Inoltre, secondo l'analisi funzionale: An Introduction, il ruolo più importante di analisi funzionale è quello di sviluppare ulteriormente linguaggio matematico per la comprensione del mondo che ci circonda. matematica XX secolo, è quasi interamente basate sulle analisi funzionale, perché è lo studio delle "operazioni" e la loro "spettro".

applicazioni

L'analisi funzionale ha molte applicazioni. Secondo Mathematical Atlas, questi includono modelli di collettori sugli spazi topologici lineari, topologia generale (ad esempio, spazi vettoriali topologici) e spazi metrici (come gli spazi normati vettoriali, funzioni di distanza, e prodotti interni).